Contoh soal dan pembahasan aplikasi atau penerapan penggunaan turunan fungsi materi matematika kelas XI SMA.
Turunan fungsi biasa digunakan saat menentukan gradien garis singgung suatu kurva, menentukan dimana interval naik turun fungsi, menentukan jenis nilai stasioner dan beberapa aplikasi pada persamaan gerak atau masalah terkait maksimum dan minimum.
Berikut contoh-contoh soal aplikasi turunan:
Soal Nomor 1
Diberikan suatu fungsi dengan persamaan y = 2x − √x
Tentukan persamaan garis singgung kurva melalui titik (9, 16)
Pembahasan
Penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Turunkan fungsi untuk mendapatkan gradien dan masukkan x untuk mendapat nilainya.
Persamaan garis yang melalui titik (9 , 16) dengan gradien 11/6 adalah
Soal Nomor 2
Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t2 − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik
Pembahasan
Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t2 − 4t + 8
ν = y ' = 10t − 4
Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah
ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik
Soal Nomor 3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + 2x2 − 5x di titik (1, −2) adalah....
A. y = 2x
B. y = 2x − 3
C. y = 2x − 4
D. y = 2x + 3
E. y = 2x + 4
(Dari umptn 1996)
Pembahasan
Tentukan dulu gradien garis singgung
y = x3 + 2x2 − 5x
m = y ' = 3x2 + 4x − 5
Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1
m = 3(1)2 + 4(1) − 5 = 2
Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah
y − y1 = m(x − x1)
y − (−2) = 2(x − 1)
y + 2 = 2x − 2
y = 2x − 4
Soal Nomor 4
Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x2 − 12)
Pembahasan
Nilai maksimum diperoleh saat f '(x) = 0
Urai kemudian turunkan
f(x) = 3x(x2 − 12)
f(x) = 3x3 − 36x
f '(x) = 9x2 − 36 = 0
9x2 = 36
x2 = 4
x = √4 = ±2
Untuk x = +2
f(x) = 3x3 − 36x = 3(2)3 − 36(2) = 24 − 72 = − 48
Untuk x = −2
f(x) = 3x3 − 36x = 3(−2)3 − 36(−2) = −24 + 72 = 48
Dengan demikian nilai maksimumnya adalah 48
Soal Nomor 5
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari
Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu....
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari
(umptn 2001 - aplikasi turunan)
Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x
Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,
Soal Nomor 6
Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah...
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160
(un 2005)
Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x2), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x2)
U (x) = 225 x2 − x3
Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ' (x) = 0
450 x − 3x2 = 0
Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150
Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.
Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.
Turunan fungsi biasa digunakan saat menentukan gradien garis singgung suatu kurva, menentukan dimana interval naik turun fungsi, menentukan jenis nilai stasioner dan beberapa aplikasi pada persamaan gerak atau masalah terkait maksimum dan minimum.
Berikut contoh-contoh soal aplikasi turunan:
Soal Nomor 1
Diberikan suatu fungsi dengan persamaan y = 2x − √x
Tentukan persamaan garis singgung kurva melalui titik (9, 16)
Pembahasan
Penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Turunkan fungsi untuk mendapatkan gradien dan masukkan x untuk mendapat nilainya.
Persamaan garis yang melalui titik (9 , 16) dengan gradien 11/6 adalah
Soal Nomor 2
Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t2 − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik
Pembahasan
Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t2 − 4t + 8
ν = y ' = 10t − 4
Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah
ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik
Soal Nomor 3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x3 + 2x2 − 5x di titik (1, −2) adalah....
A. y = 2x
B. y = 2x − 3
C. y = 2x − 4
D. y = 2x + 3
E. y = 2x + 4
(Dari umptn 1996)
Pembahasan
Tentukan dulu gradien garis singgung
y = x3 + 2x2 − 5x
m = y ' = 3x2 + 4x − 5
Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1
m = 3(1)2 + 4(1) − 5 = 2
Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah
y − y1 = m(x − x1)
y − (−2) = 2(x − 1)
y + 2 = 2x − 2
y = 2x − 4
Soal Nomor 4
Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x2 − 12)
Pembahasan
Nilai maksimum diperoleh saat f '(x) = 0
Urai kemudian turunkan
f(x) = 3x(x2 − 12)
f(x) = 3x3 − 36x
f '(x) = 9x2 − 36 = 0
9x2 = 36
x2 = 4
x = √4 = ±2
Untuk x = +2
f(x) = 3x3 − 36x = 3(2)3 − 36(2) = 24 − 72 = − 48
Untuk x = −2
f(x) = 3x3 − 36x = 3(−2)3 − 36(−2) = −24 + 72 = 48
Dengan demikian nilai maksimumnya adalah 48
Soal Nomor 5
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari
| dengan biaya proyek perhari |  | ratus ribu rupiah. |
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari
(umptn 2001 - aplikasi turunan)
Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x
Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,
Soal Nomor 6
Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x2) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah...
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160
(un 2005)
Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x2), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x2)
U (x) = 225 x2 − x3
Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ' (x) = 0
450 x − 3x2 = 0
Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150
Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.
Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.
EmoticonEmoticon