Contoh soal dan pembahasan integral parsial matematika SMA kelas 12 IPA.
Berikut diberikan dua metode cara untuk menyelesaikan type soal integral parsial.
Ingat kembali rumus dasar untuk materi integral parsial sebagai berikut.
Untuk lambang-lambangnya jika berbeda, silakan disesuaikan dengan literature atau buku yang adik-adik gunakan atau catatan yang diberikan Bapak Ibu Guru di sekolah masing-masing, pada prinsipnya sama saja.
Soal No. 1
Hasil dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
A. 8(2x + 6) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
B. 8(2x + 6) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
C. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
D. 8(x + 3) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
E. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 sin (2x − π) + C
Pembahasan
Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini.
Cara Pertama
∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
|____| |__________|
u dv
Langkah pertama, tentukan dulu mana u mana dv
Misalkan (x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3) ...(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π)dx ...(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = 1/2 sin (2x − π)
du = dx
Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Cara Kedua
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut
Tempatkan x + 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos (2x − π) di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri.
Kolom pertama
x + 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, dan 1 jika duturunkan hasilnya adalah 0.
Kolom kedua
cos (2x − π) jika diintegralkan hasilnya adalah 1/2 sin (2x − π), kemudian 1/2 sin (2x − π) diintegralkan hasilnya adalah − 1/4 cos (2x − π)
Langkah Kedua
Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan
baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,
lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar diatas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.
Sehingga:
=16 {(x + 3)[1/2 sin (2x − π)] − (1)[− 1/4 cos (2x − π)]} + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja.
Soal No. 2
Hasil dari ∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx =.....
A. 3x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
B. 4x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
C. 9x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
D. 4x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
E. 3x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
Pembahasan
∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx
= 6x (1/2 (3x − 1)2/3) − (6)(1/10 (3x − 1)5/3) + C
= 3x (3x − 1)2/3 − 6/10 (3x − 1)5/3 + C
Soal No. 3
Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx =....
A. (3x + 2) sin (3x + 2) − 3 sin (3x + 2) + C
B. (3x + 2) sin (3x + 2) + 3 sin (3x + 2) + C
C. (2 − 3x) sin (3x + 2) − 3 cos (3x + 2) + C
D. (x + 2/3) sin (3x + 2) − 1/3 cos (3x + 2) + C
E. (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Pembahasan
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
= (3x + 2)1/3 sin (3x + 2) + (3) 1/9 cos (3x + 2) + C
= (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Soal No. 4
o∫π x cos x dx = ....
A. − 2
B. − 1
C. 0
D. 1
E. 2
Dicoba dulu, jawabannya adalah A. − 2
Pembahasan
o∫π x cos x dx
= x sin x + cos x ]oπ
= [π sin π + cos π ] − [(0 ) sin 0 + cos 0]
= −1 − 1 = − 2
Soal No. 5
∫ (3x + 1) cos (2x) dx adalah....
A. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x + C
B. 1/2 (3x + 1) sin 2x − 3/4 cos 2x + C
C. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
D. − 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
E. − 1/2 (3x + 1) sin 2x − 1/4 cos 2x + C
Kunci : 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x
Soal No. 6
Hasil dari ∫ x(x + 4)5 dx =....
A. 1/21 (3x + 26)(x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x − 14)(x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x − 10)(x + 4)6 + C
D. 1/21 (3x + 2)(x + 4)6 + C
E. 1/21 (3x − 2)(x + 4)6 + C
Kunci : 1/21 (3x + 2) (x + 4)6
Soal No. 7
∫ (x2 + 1) cos x dx =......
A. x2 sin x + 2x cos x + C
B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
C. (x2 + 3) sin x − 2x cos x + C
D. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C
E. 2x sin x − (x2 − 1) cos x + C
Kunci jawaban : B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
Soal No. 8
∫ x(x + 3)4 =.....
A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
B. 1/30 (3x − 5)(x + 3)5 + C
C. 1/30 (5x + 3)(x + 3)5 + C
D. 1/5 (x − 3)(x + 3)5 + C
E. 1/5 (3 − 5x )(x + 3)5 + C
Kunci jawaban : A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
Pembahasan
∫ x(x + 3)4 =.....
Seperti contoh-contoh sebelumnya:
____________________________________
Turunkan Integralkan
x ----------------\ (+) (x + 3)4
1 -----\ (−) \--------> 1/5 (x + 3)5
0 \------------------> 1/30(x + 3)6
____________________________________
∫ x(x + 3)4
= x/5(x + 3)5 − 1/30(x + 3)6 + C → sampai sini sudah selesai, hanya dipilihan belum nampak, dimodif lagi.
= x/5(x + 3)5 − 1/30(x + 3)(x + 3)5 + C
=[ x/5 − 1/30(x + 3) ] (x + 3)5 + C
= [ x/5 − x/30 − 3/30] (x + 3)5 + C
= [6x/30 − x/30 − 3/30 ] (x + 3)5 + C
= (5x/30 − 3/30)(x + 3)5 + C
= 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
Berikut diberikan dua metode cara untuk menyelesaikan type soal integral parsial.
Ingat kembali rumus dasar untuk materi integral parsial sebagai berikut.
Rumus Dasar Integral Parsial
| ∫ u dv = uv − ∫v du |
Soal No. 1
Hasil dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
A. 8(2x + 6) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
B. 8(2x + 6) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
C. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
D. 8(x + 3) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
E. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 sin (2x − π) + C
Pembahasan
Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini.
Cara Pertama
∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
|____| |__________|
u dv
Langkah pertama, tentukan dulu mana u mana dv
Misalkan (x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3) ...(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π)dx ...(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = 1/2 sin (2x − π)
du = dx
Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Cara Kedua
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut
Tempatkan x + 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos (2x − π) di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri.
Kolom pertama
x + 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, dan 1 jika duturunkan hasilnya adalah 0.
Kolom kedua
cos (2x − π) jika diintegralkan hasilnya adalah 1/2 sin (2x − π), kemudian 1/2 sin (2x − π) diintegralkan hasilnya adalah − 1/4 cos (2x − π)
Langkah Kedua
Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan
baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,
lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar diatas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.
Sehingga:
=16 {(x + 3)[1/2 sin (2x − π)] − (1)[− 1/4 cos (2x − π)]} + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja.
Soal No. 2
Hasil dari ∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx =.....
A. 3x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
B. 4x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
C. 9x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
D. 4x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
E. 3x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
Pembahasan
∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx
= 6x (1/2 (3x − 1)2/3) − (6)(1/10 (3x − 1)5/3) + C
= 3x (3x − 1)2/3 − 6/10 (3x − 1)5/3 + C
Soal No. 3
Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx =....
A. (3x + 2) sin (3x + 2) − 3 sin (3x + 2) + C
B. (3x + 2) sin (3x + 2) + 3 sin (3x + 2) + C
C. (2 − 3x) sin (3x + 2) − 3 cos (3x + 2) + C
D. (x + 2/3) sin (3x + 2) − 1/3 cos (3x + 2) + C
E. (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Pembahasan
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
= (3x + 2)1/3 sin (3x + 2) + (3) 1/9 cos (3x + 2) + C
= (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Soal No. 4
o∫π x cos x dx = ....
A. − 2
B. − 1
C. 0
D. 1
E. 2
Dicoba dulu, jawabannya adalah A. − 2
Pembahasan
o∫π x cos x dx
= x sin x + cos x ]oπ
= [π sin π + cos π ] − [(0 ) sin 0 + cos 0]
= −1 − 1 = − 2
Soal No. 5
∫ (3x + 1) cos (2x) dx adalah....
A. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x + C
B. 1/2 (3x + 1) sin 2x − 3/4 cos 2x + C
C. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
D. − 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
E. − 1/2 (3x + 1) sin 2x − 1/4 cos 2x + C
Kunci : 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x
Soal No. 6
Hasil dari ∫ x(x + 4)5 dx =....
A. 1/21 (3x + 26)(x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x − 14)(x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x − 10)(x + 4)6 + C
D. 1/21 (3x + 2)(x + 4)6 + C
E. 1/21 (3x − 2)(x + 4)6 + C
Kunci : 1/21 (3x + 2) (x + 4)6
Soal No. 7
∫ (x2 + 1) cos x dx =......
A. x2 sin x + 2x cos x + C
B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
C. (x2 + 3) sin x − 2x cos x + C
D. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C
E. 2x sin x − (x2 − 1) cos x + C
Kunci jawaban : B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
Soal No. 8
∫ x(x + 3)4 =.....
A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
B. 1/30 (3x − 5)(x + 3)5 + C
C. 1/30 (5x + 3)(x + 3)5 + C
D. 1/5 (x − 3)(x + 3)5 + C
E. 1/5 (3 − 5x )(x + 3)5 + C
Kunci jawaban : A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
Pembahasan
∫ x(x + 3)4 =.....
Seperti contoh-contoh sebelumnya:
____________________________________
Turunkan Integralkan
x ----------------\ (+) (x + 3)4
1 -----\ (−) \--------> 1/5 (x + 3)5
0 \------------------> 1/30(x + 3)6
____________________________________
∫ x(x + 3)4
= x/5(x + 3)5 − 1/30(x + 3)6 + C → sampai sini sudah selesai, hanya dipilihan belum nampak, dimodif lagi.
= x/5(x + 3)5 − 1/30(x + 3)(x + 3)5 + C
=[ x/5 − 1/30(x + 3) ] (x + 3)5 + C
= [ x/5 − x/30 − 3/30] (x + 3)5 + C
= [6x/30 − x/30 − 3/30 ] (x + 3)5 + C
= (5x/30 − 3/30)(x + 3)5 + C
= 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
EmoticonEmoticon